Теория на хаоса.
Теория
на хаоса е един от най-модерните подходи за изследване на валутния
пазар и търговия на форекс. Но все още не съществува точно математическо
определение за хаос. В момента той се определя като крайна
неопределеност на постоянно нелинейно и нередовно сложно движение,
възникващо в динамична система.
Хаосът не е случаен, независимо, че е непредсказуем.
Той
е динамично определен. На пръв поглед непредсказуемостта граничи със
случайността, а случайни явления не могат да се предсказват. Ако се
отнасяме към пазара като към случайни блуждения, то това е самият
случай. Но в хаоса има определени закономерности. Хаотичното движение на
цените не е случайно, а друг вид подреждане. Непредсказуемостта на
хаоса се обяснява основно от съществената зависимост от началните
условия. Тя показва, че даже най-малки грешки при измерване на
параметрите, могат да доведат до съществени и абсолютно неверни
предсказания.
Грешки и неточности.

Тези
грешки могат да възникнат от елементарно незнание на всички начални
условия. Нещо непременно се изплъзва от вниманието. Така в задачата се
залага вътрешна грешка. Допълнителни неточности могат да се внесат и от
неточното измерване на най-незначителни външни или вътрешни фактори за
въздействие върху пазара.
Пример за хаотично движение е билярдната топка.
Крайния
резултат от удара зависи от множество фактори. И най-малката неточност в
един от тях води до непредсказуеми резултати. Даже всичко да е съвсем
точно, опитайте се да предскажите пътя на топката само след 3 - 4 удара.
Главен извод.
Един
от главните изводи в ТХ е, че не може да се предскаже бъдещето, тъй
като винаги ще възникват грешки в измерванията, породени, в т.ч. и от
незнание на всички фактори. При това малки изменеия или грешки могат да
предизвикват големи грешки или откронения.
Експоненциална грешка.
Друго
основно свойство на хаоса е експоненциалното натрупване на грешки.
Което означава, че нарастването на грешките ще става бързо, далеч зад
допустимата предсказуемост. Следователно достоверността на прогнозите с
времето зночително спада. Този извод е съществена пречка за
приложимостта на Фундаменталния анализ, който оперира именно с
дългосрочни критерии.
Хаосът е друга форма на порядък.
Движенито
от порядък към хаос и обратното е същност на вселената. Даже в човешкия
мозък съществуват подредени и хаотични начала. Порядъка е в лявото
полукълбо (съзнателните действия), а хаоса в дясното (интуицията). ТХ
изучава порядъка в хаотичната система и помага да се построи модел на
такава система, без да си поставя за задача да предсказва точно
поведението на системата.
С какви инструменти разполага ТХ?
Това са преди всичко атракторите и фракталите.
Атрактора (attract - привличам)
е геометрична структура, характеризираща поведението във фазовото пространство за продължителен период от време.
Фазовото пространство
е
абстрактно пространство, чийто координати се явяват степените на
свобода на системата. Например, в движенията на махалото има две степени
на свобода. Това движение е напълно определено от началната скорост на
махалото и от негото положение. Ако не съществува съпротивление, то
фазовото пространство на махалото ще е затворена крива. Но поради
въздействието на триенето, то реално фазавата пространство е слирала.
Атрактора е това, към което се стреми системата, това което я привлича.
Най-простия атрактор е точката.
Такъв
атрактор е характерен за махалото при наличие на триене. Независимо от
началната скорост и положение, махалото винаги си стреми към покой в
една точка.
Друг вид атрактор е пределния цикъл,
който
има вид на затворена крива. Такъв пример е махалото, на което не му
влияе силата на триене. Такъв пример е и биенето на сърцето. Честотата
на биене може да намалява и да се увеличава, но тя винаги се стреми към
своя атрактор, своята затворена крива.
Основни видове атрактори.
- Прости предсказуеми атрактори атрактори.
- Хаотични атрактори.
Независимо
от сложността на поведение на хаотичните атрактори, познаването на
фазовото пространство позволява да поведението на системата да се
представи в геометрична форма и съответно да се предсказва. И макар, че е
невъзможно да се определи в конкретен момент от време точно къде се
намира системата, то областа на пребиваване и стремежът към атрактора са
предсказуеми.
Атрактор на Лоренц
Той има три
степени на свобода - три обикновени диференциални уравнения, три
константи и три начални условия. И макар, че е прост, то тази система се
държи хаотично. Моделирана на компютър, тази система показва своя
хаотичен характер - даже най-малките отклонения в началните условия, в
процеса на еволюция водят до големи, експоненциални грешки. Но този
атрактор има крайни размери, т.е. раздалечаването между двете системи не
може да е безкрайно и все някога се преминава към събиране. По този
начи, постоянното свиване и разпускане на хаотичния атрактор,
систематично отстранява първоначалната информация и я заменя с ново.
При
сближаване на траекториите се получава ефекта на късогледството -
нараства неопределеността на едромащабната информация. При раздалечаване
на траекториите обратно, се появява ефект на дългогледство - нараства
неопределеността на дребномащабната информация. Следователно, с времето
неопределеността стремително нараства, което ни лишава от възможността
да правим точни прогнози.
Основно свойство на хаотичните атрактори.
В
хаотичните системи не е възможно да се установи връзката причина -
следствие. Причино - следствена връзка между миналото и бъдещето в хаоса
няма. Скоростта на сближаване и раздалечаване е мярка за хаоса, т.е.
числов израз колко е хаотична системата. Друга статистическа мера за
хаоса е размерността на атрактора. Така, основно свойство на хаотичните
атрактори е сближаването и раздалечаването на траекториите на различни
системи, които по случаен начин, постепено и безкрайно се смесват.
Фракталът е противоположност на хаоса.
Той
е статично явление, а хаоса е динамично явление. Фракталът е
геометрична фигура, определена част от която се повтаря отново и отново,
откъдето и свойството на фрактала - самоподобие. Друго свойство е
дробността - математическо отражение степента на неправилност на
фрактала. Всичко, което е случайно и неправилно, може да бъде фрактал.
Облак, дърво, биенето на сърцето, популациите и миграциите на животните,
езика на пламъка. Всеки фрактал се получава чрез поредица итерации -
повторения.
Хаотичния атрактор е фрактал.
В
техническия анализ на валутния пазар типичен фрактал са вълните на Елиот
с принципа на самоподобието. Допълнителната идея, заложена във
фракталите са нецелите измерения. Обикновено говорим да едно-, дву-,
три-мерно измерение. Но могат да съществуват и нецели измерения . Това
са т.н. фрактални измерения. В природата едва ли има идеални форми -
кълбо, куб... Следователно, за тяхното описване не могат да служат
целите пространствени измерения. За измерването на неправилните
фрактални фигури се въвежда понятието фраткално (нецяло) измерение.
Има прости и сложни фрактали.
Първите
не изискват формули или уравнения. Взема се лист хартия, нанасят се
няколко повторения на дадена фигура и готово. За сложните фрактали е
присъща безкрайна сложност, макар че тя е генерирана от проста формула.
Класически пример за това е множеството на Манделброт, получавано по
формулата:
Zn + 1 ≠ Zna + Cq
където
Z и C - са комплексни числа
а е положително число
Към хаос системите могат да преминават по различни начини.
Един
от тях е бифуркацията (bifurcus - раздвоение). Това е процес на
КАЧЕСТВЕН преход от състояние на равновесие към хаос, чрез
последователно, много малко изменение на периодичните точки. Това става с
т.н. катастрофични скокове. Момента на скока става в точката на
бифуркация.
Хаосът може да възникне чрез бифуркация.
Анализира се уравнението
Хп + 1 = С(Хп)2,
където С - външен параметър.
Следователно,
при някои ограничения, с всички подобни уравнения става преход от
равновесие към хаос. Да вземем пример от биологията:
Дадена
популация живее изолирано и наброява Хп. След 1 година се появява
потомство с численост Хп+1. Ръстът на популацията се описва от първия
член от първия член на дясната част на уравнението (СХп), където
коефициента С определя скороста на растеж и е определящ параметър.
Измирането на животните поради пренаселеност и недостиг на храна се
определя от втория, нелинеен член (С(ХП)2).
- - при С < 1 популацията с ръст п измира
- - в областта 1 < С < 3 числеността на популацията остава постоянна ХО = 1 - 1/С
- -
при С = 3 точкта на бифуркация става отблъскваща фиксирана точка. От
този момент функцията вече никога се събира към една точка.
- - в
диапазона 3 < С < 3.57 започват бифуркации и разклонение на всяка
крива на две. Отначало популацията рязко нараства. На следващата година
се получава преселеност и след година числеността отново намалява.
- - при С > 3.57 става припокриване на областите с различни решения и поведението на системата става хаотично.
Следователно,
заключителното състояние на еволюиращите физически системи е
състоянието на динамичен хаос. Ето прехода от хаус през бифуркация.

Динамичните
променливи Хп приемат стойности, които силно зависят от началните
условия. Състоянието на системата в момента на бифуркация е крайно
неустойчиво и безкрайно малко въздействие може да доведе към следващ път
на движение - което си е хаос. Има универсални закономерности на преход
към динамичен хаос при удвояване на периода, експериментално потвърдени
за различни видове системи. Това се визуализира чрез т.н. Дърво на
Фейгенбаум.
Какво е бифуркацията, казано на прост език?
Както
разбрахме, бифуркацията възниква при преход на системата от стабилност и
равновесие към хаос. Такива примери са дима, водата, и много други
обичайни природни явления. Повдигащия се нагоре дим, отначало изглежда
като стълб. Но след определено време, той претърпява изменения, които
отначало изглеждат правилни, но след това се превръщав в хаотични и
непредсказуеми. Фактически, първия преход от стабилност към някаква
подреденост става в първата точка на бифуркация.. След това броя на
бифуркациите се увеличава, достигайки огромни стойности и с всяка
бифуркация движенията на дима се приближават до хаоса.
Приложения на бифуркацията.
С
помощта на бифуркацията може да се предсказва характера на движението,
възникващо при прехода на системата в качествено друго състояние, а също
и областта на съществуване на системата и да се оцени нейната
устойчивост. Самата теория на хаоса е трудно съвместима със
съществуващите класически науки.
Хаосът е непредсказуем.
И
когато се изучава хаотична система, може да се прогнозира само модела
за нейното поведение. Затова с помоща на хаоса не трябва да се строят
точни прогнози. За сега не съществува математически точен апарат за
приложение теорията на хаоса при изследване на пазарните цени. Но това е
перспективно съвременно направление на математиката от гледна точка на
приложните изследвания на финансовите пазари.
----------
Още препоръки, мнения и допълнения по темата може да четете и правите по-долу - в коментарите.